Identitas Trigonometri : Rumus, Turunan, Tabel, Contoh Soal

Identitas trigonimetri merupakan salah satu materi matematika tingkat SMA sederajat. Materi ini dianggap cukup sulit karena memiliki banyak rumus. Namun sebenarnya trigonometri bukanlah materi yang sulit jika mengetahui dasarnya.

Dasar dari trigonometri adalah rumus dasar identitas. Jika sudah memahami mengenai rumus dasarnya maka belajar trigonometri akan lebih mudah. Secara umum dalam trigonometri dikenal ada tiga sudut yaitu sin, cos, dan tan.  Tertarik ingin mengetahuinya lebih lanjut? Mari simak penjelasan berikut ini.

Sejarah dan Penemu Trigonometri

Sebelum membahas mengenai rumus-rumus persamaan identitas trigonometri lengkap ada baiknya jika mengetahui mengenai sejarah penemuannya terlebih dahulu. Trigonometri sendiri sudah dipelajari dan dikembangkan pada zaman Yunani Kuno. Ilmuwan awal yang diyakini menemukan trigonometri adalah Hipparches pada tahun 190 SM.

Perkembangan ilmu trigonometri tidak terlepas dari ilmu geomteri dan astronomi dalam matematika. Hal ini dikarenakan trigonometri merupakan salah satu dasar para arsitektur dalam membuat sebuah gedung. Triginometri ini juga bukan ilmu matematika murni melainkan ilmu matematika terapan.

Ada dua tokoh penting dalam penemuan rumus persamaan trigonometri yaitu Al-Battani dan Abul Wafa. Keduanya merupakan ilmuwan islam. Untuk mengetahui lebih jelas sejarahnya, simak penjelasan berikut.

Al Battani: Bapak Trigonometri

Al-Battani bernama lengkap Muhammad Ibn Jabir Ibn Sinan Abu Abdullah. Beliau merupakan salah satu anak dari kerajaan Arab yang menjadi gubernur Syria. Dikenal sebagai seorang ilmuwan muslim yang sangat cerdas dan mampu memecahkan persamaan trigonometri ketingkat yang lebih tinggi.

Pria yang dilahirkan di Truki pada tahun 858 ini merupakan penemu jumlah hari dalam satu tahun. Al-Battani menemukan bahwa satu tahun matahari adalah 365 hari 5 jam 46 menit 24 detik.

Dalam bidang trigonometri Al-Battani adalah orang yang menyusun tabel cotangen yang bertama kali. Selain itu, Al-Battani juga menemukan rumus trigonometri yang sampai sekarang digunakan. Adapun rumus yang ditemukan oleh Al-Battani adalah:

Kelima rumus dari Al-Battani di atas digunakan sampai sekarang. Rumus ini dipelajari pada jenjang SMA kelas 11 atau kelas 2 SMA. Penggunaan rumus ini sangat penting dalam kehidupan terutama untuk arsitek.

Tidak hanya menemukan dan memcahkan persamaan-persamaan trigonometri yang sulit, Al-Battani juga merupakan astronom yang cerdas. Dalam hal astronomi Al-Battani menyempurnakan hitungan panjang tahun matahari. Beliau juga menyusun tabel yang baru mengenai garis matahari dan bulan.

Kecerdasan ilmuwan ini tertuang dalam karyanya yaitu Kitab Az-Zij. Di dalam kitab ini membahas mengenai tabel astronomi. Karyanya ini lebih merujuk pada teori Ptolemy dan ilmuwan Yunani kuno lainnya. Hingga sekarang karyanya ini masih digunakan oleh ilmuwan astronomi.

Al-Battani diketahui meninggal di tahun 929 di Damaskus. Beliau juga di makamkan di Damaskus. Berkat pencapaian dan penemuannya inilah Al-Battani disebut dengan Bapak Trigonometri.

Abul Wafa

Ilmuwan yang sangat berpengaruh dalam bidang matematika terapan trigonometri adalah Abul Wafa. Sama seperti Al-Battani, Abul Wafa adalah ilmuwan muslim yang fokus dalam bidang astronomi dan trigonometri.

Nama lengkap dari Abul Wafa adalah Abul Wafa Muhammad Al-Buzjani. Beliau lahir di Iran tepatnya di Nishapur pada tahun 940 M. Abul Wafa lahir jauh setelah Al-Battani. Beliau inilah yang sangat berjasa dalam mengembangkan dan mengenalkan trigonometri keseluruh dunia.

Abul Wafa mempunyai kelebihan dalam trigonometri. Disiplin ilmu ini beliau tekuni sehingga menemukan banyak persamaan dari trigonometri yang lebih sederhana. Bahkan sampai sekarang teori-teori dasar trigonometri beliau masih digunakan dalam ilmu astronomi dan geometri.

Ilmuwan asal Iran ini belajar matematika dari pamannya yaitu Abu Abdullah Muhammad Ibn Anbasa dan Abu Amr Al-Mughazili. Berkat kedua pamannya inilah beliau mampu menguasai matematika dan mengembangkan trigonometri.

Abul Wafa tidak hanya mengembangkan trigonometri saja tapi juga mengembangkan rumus-rumus ilmu geomteri. Beliau memecahkan banyak soal geometri dan berhasil menemukan persamaan:  dan 

Kedua rumus tersebut masih digunakan para arsitektur untuk membangun sebuah gedung ataupun bangunan lainnya. Teori-teori dari Abul Wafa ini terkadang masih diperdebatkan oleh para ilmuwan. Sebagian ilmuwan beranggapan bahwa teori Abul Wafa ini sudah ditemukan terlebih dahulu oleh Bahbasy Al-Hisab.

Terlepas dari perdebatan para ilmuwan, Abul Wafa menulis banyak karya. Karyanya dibagi menjadi tiga kelompok yaitu buku penjelasan dari ilmuwan lain, buku tentang panduan geometri, dan buku tentang astronomi.

Dalam buku penjelasan dari ilmuwan lain Abul Wafa menjelaskan kembali teori aljabar dari tiga ilmuwan. Ketiga ilmuwan ini yaitu Al Khawarizmi, Deofantos, dan Abarchos. Namun sayangnya buku ini sudah hilang.

Buku yang kedua adalah buku acuan untuk para arsitek. Di dalam buku ini menjelaskan secara lengkap mengenai cara untuk menghitung segitiga , lingkaran, persamaan segi empat, dan berbagai bangun lainnya.

Abul Wafa tidak hanya menulis satu buah buku murni hasil pemikirannya saja tapi ada tiga buah. Ketiga buku ini berjudul Al-Handsa atau Geometri Terapan, Al Kamil atau Buku Lengkap, dan Al Hisab atau Buku Aritmatika. Semua bukunya ini masih digunakan sampai sekarang oleh para ahli geometri.

Seperti yang sudah dijelaskan, Abul Wafa tidak hanya cerdas dalam trigonometri dan geometri saja tapi juga cerdas dalam bidang astronomi. Abul Wafa juga menulis buku astronomi yang berjudul Al-Zayj dan Al-Majesty. Buku-buku ini berisi tentang kalander astronomi dan acuan dalam meneropong bintang.

Tidak hanya buku, Abul Wafa juga banyak mengeluarkan jurnal ilmiah. Namun sayangnya banyak jurnal ilmiah karyanya yang hilang. Prestasi dalam trigonometri yang paling menonjol adalah memecahkan rumus sinus. Abul Wafa berhasil menemukan hubungan antar jumlah sudut sinus dan sudut rangkap.

Persamaan trigonometri yang ditemukan oleh Abul Wafa adalah:

Berkat penemuan Abul Wafa, Organisasi Astronomi Internasional atau yang disebut AOI mengabadikan namanya untuk sebuah kawah di bulan. Nama Abul Wafa tertulis di kawah bulan yang dekat dengan ekuator bulan. Selain itu, dunia astronomi modern tidak melupakan Abul Wafa dan mengakui semua karyanya.

Al-Khawarizmi

Al-Khawarizmi merupakan ilmuwan matematika muslim yang sudah diakui kecerdasannya di dunia. Nama lengkap dari beliau adalah Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi lahir pada tahun 780 M. Beliau lebih dikenal sebagai penemu angka nol dan Bapak Aljabar.

Tidak hanya aljabar, Al-Khawarizmi ini juga ilmuwan yang menemukan konsep penggunaan sin, cos, dan tan pada segitiga. Rumus yang ditemukannya ini sampai sekarang menjadi dasar untuk belajar trigonometri ditingkat SMA.

Al-Khawarizmi adalah orang yang menciptakan penggunaan tan dan secan untuk penyelidikan dalam bidang astronomi. Kecerdasan yang dimiliki oleh Al-Khawarizmi ini digunakan oleh pemerintah Baghdad pada waktu itu untuk pengembangan ilmu pengetahuan. Hampir semua bidang ilmu dikuasai oleh Al-Khawarizmi termasuk ilmu hisab.

Al-Khawarizmi banyak menulis buku mengenai berbagai disipilin ilmu. Beliau adalah orang pertama yang mengenalkan angka dan cara menghitung dari India di dunia islam. Tidak hanya itu, Al-Khawarizmi juga banyak menghasilkan konsep matematika yang digunakan sampai sekarang.

Dalam bidang matematika Al-Khawarizmi menghasilkan 3 buah karya besar yang menjadi dasar pengembangan matematika. Karya yang paling terkenal adalah Al-Jabr Wa’l Muqabalah. Di dalam buku ini dijelaskan mengenai ilmu aljabar dan juga pemakaian secan dan tangen.

Karya yang tidak kalah berpengaruhnya dalam ilmu matematika dan astronomi adalah Hisab Al-Jabr Wa Al-Muqabalah. Buku ini membahas mengenai berbagai contoh sal matematika. Ada 800 permasalahan yang dibuktikan oleh Al-Khawarizmi di dalam buku ini.

Buku yang lebih lengkap mengenai trigonoetri dari Al-Khawarizmi adalah buku Sistem Nomor. Di dalam buku ini dijabarkan secara lengkap persamaan dasar dari trigonometri dan teorema segitiga sama kaki. Selain itu, dibahas pula cara menghitung luas lingkaran, segi empat, dan segitiga dengan konsep trigonometri.

Sumbangsih Al-Khawarizmi dalam bidang trigonometri ini sangat membantu perkembangan ilmu pengatahuan matematika. Dengan rumus-rumus yang ditemukannya ini menjadi dsar pengembangan rumus identitas dalam trigonometri.

Para ilmuwan modern dan para arsitektur sampai sekarang masih menggunakan dan mengembangkan teori dan rumus dari Al-Khawarizmi. Walaupun Al-Khawarizmi termasuk penemu trigonometri dasar tapi beliau dinobatkan sebagai Bapak Aljabar. Hal ini dikarenakan sumbangsih beliau dalam aljabar lebih banyak.

Tiak hanya pandai dalam bidang matematika, Al-Khawarizmi juga dikenal ahli bermain musik. Dalam ilmu kimia beliau juga sangat dikenal dan banyak mengeluarkan teori dsar kimia. Kecerdasannya ini membuat Al-Khawarizmi diakui oleh ilmuwan dunia sebagai ilmuwan islam yang paling cerdas.

Tokoh-tokoh penemu dan pengembang trigonometri ini bisa menjadi inspirasi belajar trigonometri. Pelajaran trigonometri memang yang paling sulit, namun kegunaannya sangatlah banyak. Sebenarnya untuk menguasai trigonometri tidaklah sulit. Hal ini dikarenakan ilmuwan sudah menyederhanakan rumus dasarnya.

Untuk mempelajari trigonometri harus memahami rumus identitas dasarnya. Pengembangan rumus ini bisa diterapkan untuk menyelesaikan berbagai soal yang berhubungan dengan trigonometri.

Rumus Identitas Trigonometri

Membahas mengenai trigonometri tidak lepas dari rumus dasarnya. Ada banyak rumus trigonometri yang harus diketahui. Berikut ini rumus identitas dari trigonometri yang wajjib dipahami pada jenjang SMA dan sederajat:

Rumus Perbandingan Trigonometri

Untuk memahami rumus perbandingan dalam trigonometri perhatikan segitiga berikut ini:

Dari segitiga tersebut bisa dirumuskan rumus perbandingan dasar trigonometri yaitu:

Untuk mempermudahkan menghafal bisa disingkat menjadi: Sin = de/mi, Cos = sa/mi, dan Tan = de/sa. Ini merupakan rumus dasar perbandingan trigonometri. Sebelum melangkah ke rumus lainnya, rumus ini harus benar-benar dipahami.

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Trigonometri

Rumus tentang trigonometri yang selanjutnya adalah tentang jumlah dan selisih sudut trigonometri. Berikut rumus-rumusnya:

Rumus jumlah ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan sudut rangkap.

Rumus Sudut Ganda Trigonometri

Sudut ganda atau yang sering disebut sudut rangkap merupakan rumus yang sering digunakan. Identitas trigonimetri sudut rangkap ini sangat berguna dalam menyelesaikan soal yang berkaitan dengan pembuktian suatu pernyataan geometri. Berikut rumusnya:

Rumus Perkalian Trigonometri

Untuk rumus perkalian trigonometri dapat digunakan untuk mengalikan dua sudut. Adapun rumusnya yaitu:

Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Trigonometri

Jika rumus sebelumnya merupakan jumlah dan selisih satu sudut saja, berikut ini rumus jumlah dan selisih untuk 2 sudut.

Rumus Identitas Dasar Trigonometri

Rumus identittas yang biasa digunakan untuk membuktikan sebuah pernyataan trigonometri adalah rumus identitas dasar trigonometri. Berikut ini rumus identitas dasar trigonometri:

Turunan Identitas Trigonometri

Rumus turunan identitas trigonometri merupakan rumus kebalikan rumus dasar dari trigonometri. Ada tiga turunan dari trigonometri yaitu csc, sec, dan cot. Untuk lebih jelasnya berikut ini rumus lengkapnya:

Tabel Identitas Trigonometri

Dalam sudut trigonometri terdapat sudut-sudut istimewa. Nilai setiap sudut istimewa ini berbeda-beda. Untuk lebih jelasnya berikut tabel trigonometri untuk setiap sudut.

Tabel Sudut Istimewa Sin, Cos, dan Tan

Berikut adalah tabel istimewa dari semua sudut ini:

Untuk memudahkan dalam menghafal tabel sin diawali dari 0 dan diakhiri dengan 1. Jika sin dimulai dari 0 maka cos adalah kebalikan dari sin sehingga dimulai dari 1 dan diakhir dengan 0.

Untuk tabel sudut tan berbeda dengan sin dan cos. Hal ini dikarenakan nilai tan adalah perbandingan antara sin dan cos. Sudut istimewa ini adalah sudut yang sering digunakan dan keluar dalam berbagai soal trigonometri.

Contoh Soal Identitas Trigonometri

Agar lebih memahami mengenai rumus trigonometri, akan diberikan beberapa contoh soal  identitas trigonometri dan penyelesaiannya. Untuk menyelesaikan soal-soal ini semua rumus trigonometri yang sudah diberikan bisa digunakan.

Soal Pembuktian Pernyataan Trigonometri

Soal yang sering muncul yaitu soal pembuktian trigonometri. Berikut adalah contohnya:

Buktikan bahwa

Penyelesain dari soal ini yaitu:

Untuk menyelesaikan soal ini harus diperlukan kejelian dalam memilih rumus mana yang harus digunakan. Kombinasi rumus trigonometri juga bisa dilakukan untuk menyelesaikan sebuah soal.

Soal Menyederhanakan Bentuk Trigonometri

Selain pembuktian pernyataan, soal trigonometri juga sering berupa penyederhanaan. Berikut ini adalah contoh soalnya:

Sederhanakanlah bentuk

Penyelesain dari soal ini yaitu:

Soal penyederhanaan ini juga diperlukan untuk memadukan berbagai rumus trigonometri. Alur dari pengerjaannya bisa berbeda-beda. Namun tentu saja nanti hasilnya akan sama.

Kesimpulan

Trigonomteri merupakan materi matematika wajib untuk SMA dan sederajat. Rumus dasar dari trigonometri harus dipahami untuk memudahkan dalam menyelesaikan soal. Dalam menyelesaikan soal tidak hanya menggunakan satu rumus saja tapi juga memadukan berbagai rumus trigonometri.

Rumus identitas trigonometri ini bisa menjadi panduan dalam mengerjakan soal trigonometri. Mengerjakan soal trigonometri hanya perlu ketelitian dan kejelian dalam menggunakan setiap rumusnya.

 

Lihat Juga :

 

Referensi :

  1. https://majalahkartini.co.id/
  2. https://ejurnalbalaibahasa.id/
  3. https://kanreg12bkn.id/
  4. https://desamembangun.id/
  5. https://www.masukptn.id/
  6. https://psyline.id/
  7. https://liga-indonesia.id/
  8. https://jurubicara.id/
  9. https://www.atursaja.com/
  10. https://vncallcenter.com/
  11. https://www.chip.co.id/
  12. https://www.suratkabar.id/
  13. https://rollingstone.co.id/
  14. https://officialjimbreuer.com/
  15. https://www.i4startup.id/
  16. https://kebangkitan-nasional.or.id/
Artikel Pilihan